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Stochastische Modelle und Estimationstheorie
Vorlesungsinhalt
Zustandsraumdarstellung: Modellierung im Zustandsraum, Aufstellen der Zustandsraumdifferentialgleichung aus den Differentialgleichungen, die das System beschreiben, vektorielle Differentialgleichungen, Lösung der Zustandsraumdifferential-gleichung, Beobachtbarkeit, Erreichbarkeit, Steuerbarkeit, Stabilität (in linearen und nichtlinearen Systemen, Bounded-Input Bounded-Output).
Wahrscheinlichkeitstheorie: Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit (axiomatische und heuristische Definition mit Beispielbetrachtungen), Ereignisraum, Ereignisse, Sigma-Algebra, Borel-Felder, Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion, -verteilungsdichtefunktion, Charakteristische Funktion, Beschreibung der Verteilungsdichtefunktionen durch deren Momente (Erwartungswert, Varianz, Korrelation), Zusammenhang zwischen Korrelation, Erwartungswert und Varianz, Wiener-Lee-Theorem, Parsevalsches Theorem, Unabhängigkeit, Unkorreliertheit, Orthogonalität, die Gaußverteilungsdichtefunktion, zentraler Grenzwertsatz, funktionale Zusammenhänge zwischen Zufallsvariablen, Baire-Funktionen, Maßtheorie, Lebesgue-Stieltjes-Integration.Estimationsansätze: Bayessche Estimation (am Beispiel der Gaußverteilungsdichtefunktion), Maximum-Likelihood Estimation, Maximum A-Posteriori Estimation, Minimum Varianz und Weighted Least-Squares Estimation, Aufzeigen der Unterschiede und der verschiedenartigen Nutzungen (Neyman-Pearson, Systemidentifikation, Kodierung, Matched Filter, Datenreduktion..), Maximum-Entropie Estimation (Bildverarbeitung).
Stochastische Systeme: Stochastische Prozesse, Rauschprozesse, Brownscher Prozeß, Stetigkeit stochastischer Prozesse, Weißes Rauschen, Modellierung mit additiven Rauschprozessen, Integration stochastischer Prozesse (Ito-Integration, Stratonovitch-Integration), Markov-Prozesse, Gauß-Markov-Prozesse, Extrapolation, Fehlerfortpflanzung.
Inverse Probleme: Inverse Problemstellung (Bsp.: Tomographie: Zurückrechnen von einem Schattenbild auf das angestrahlte Objekt), Fredholm-Integrale die in speziellen Fällen zu Faltungsintegralen werden, Lösung über Wiener-Filter. Optimalfilter: Das Kalman-Filter als rekursiver Algorithmus im Zustandsraum. Kovarianzenzyklus und inverser Kovarianzenzyklus, Information in Meßwert und Zustandsschätzwert.